Kasım 2024 Ayın Sorusunun Çözümü ve Doğru Çözenler

vlastas/iStock

Bilim ve Teknik dergisinde Ekim 2024'te yayımlanan Ali Baba’nın Mağaradan Alabileceği Altın Sikke Sayısı sorusunun çözümü:

Cevap: N=2660

Herhangi işlem sonucunda keselerde bulunan toplam değerli taş sayısı değişmiyor. Buna göre, oyun sonlandığında tam olarak 20 kesede 20 ve 20 kesede de 21 değerli taş bulunacaktır. 

Her işlemden sonra keselerde bulunan değerli taş sayılarının karelerinin toplamını inceleyelim. Bir hamle a – b ≥ 2 olmak üzere, a ve b tane değerli taş içeren keselere yapılmış olsun. Bu işlem sonucunda keselerde a-1 ve b +1 değerli taş bulunacaktır. 

Bu durumda (a-1)2  +  (b+1)2  - a2  - b2 = 2 – 2(a-b) ≤ -2  olduğuna göre, bu toplam en az 2 azalıyor. Bu toplamın tam olarak 2 azalması için a-b = 2 olmak zorundadır. 

Demek ki 12 + 22 + ∙ ∙ ∙ + 402  - 20 (202 + 212) = 5320  olduğuna göre, yapılabilecek işlem sayısı 5320/2 = 2660 sayısıyla sınırlıdır.

Şimdi de 2660 sayısına ulaşılabileceğini gösterelim. Herhangi bir işlem sonucunda keselerdeki değerli taş sayılarının en büyüğü m en küçüğü n olsun. n ≤ k ≤ m koşulunu sağlayan her k sayısı için tam olarak k değerli taş içeren kese varsa bu duruma iyi durum diyelim. Bu iyi durumdan sonra Ali Baba yaptığı hamlelerde sırasıyla (n, n+2), (n+1, n+3), . . ., (m-2, m) değerli taş içeren kese ikililerini seçerse, elde edilen son durumda n tane değerli taş içeren kese sayısı 1 azalır, n+1 tane değerli taş içeren kese sayısı 1 artar, m-1 tane değerli taş içeren kese sayısı 1 artar ve m tane değerli taş içeren kese sayısı 1 azalır, diğer keselerin sayısı değişmez. Sonuç olarak yine iyi bir durum elde edilir. 

Tüm işlemlerin hep içerdikleri taş sayılarının farkı 2 olan keselere yapıldığına göre sonuçta 2660 sayısı elde edilir.

Ölçüm - Gerçeklik ve Hayal Gücü kitabı gönderilecek okurlarımız:

• Özge Elif ÖZDİKEN 
• Aykut Onur YAZI

Bilim ve Teknik dergisi Ayın Sorusu köşesinde Kasım 2024 sayısında yayımlanan ödüllü Değerli Taşların Sandıklara Dağıtılması sorusuna doğru çözüm gönderenler arasında yapılan çekiliş sonucunda bizden kitap hediyesi kazanan okurlarımızın adreslerine kitapları kargo ile gönderilecektir. İlginiz için çok teşekkür ediyoruz.

Dergimize Ayın Sorusu köşesi ile ilgili içerik gönderen okurlarımız, “Kişisel Verileri Koruma Kanunu” kapsamında, paylaştıkları verilerin ve bilgilerin dergimiz tarafından yayınlanmasına açık rıza göstermiş sayılacaktır.