Köprü Bilmecesinden Yapay Sinir Ağlarına Çizge Kuramı

Madmaxer/iStock

Sosyal medyada gezinirken tanıdık birinin “önerilen kişiler”de karşımıza çıkması, navigasyon cihazımızın şehirdeki karmaşık yollar arasında saniyeler içinde en kısa rotayı bulması veya müzik uygulamasının tam da zevkimize uygun çalma listesi oluşturması gibi birçok durumda perde arkasında çalışan şaşırtıcı bir matematik var: Çizge Kuramı.

Çizgeler, noktalar ve bu noktaları birleştiren çizgiler ile görselleştirilen matematiksel yapılardır. İlk bakışta oldukça basit gözükseler de aslında sosyal ağlardan ulaşım sistemlerine bilgisayar bilimlerinden biyolojiye kadar pek çok karmaşık yapının modellenmesinde ve analizinde kullanılabilecek kadar güçlüler.

Çizge Kuramı Nedir?

Çizge kuramı, nesneler arasındaki ikili ilişkileri çizge (graph) adı verilen matematiksel yapılar kullanarak inceler. Çizgeyi bir problem durumunun soyutlanmış hâli olarak düşünebiliriz. Bu soyutlama sayesinde karmaşık yapılar daha anlaşılır hâle geliyor.

Çizgeler, problem durumuna göre farklı şekillerde temsil edilebiliyor. Görsel bir çizge gösteriminde köşe veya düğüm olarak adlandırılan noktalar genellikle kişiler, şehirler, web siteleri gibi ögeleri temsil eder. Köşeler arasındaki bağlantılar kenar olarak adlandırılır ve genellikle çizgiler veya yaylarla temsil edilir.

Kenarlar, köşeler ile temsil edilen ögeler arasındaki ilişkileri veya etkileşimleri gösterir. Bir köşeden çizilen kenar sayısına o köşenin derecesi denir. Örneğin bir grup insan arasındaki arkadaşlık ilişkisini gösteren şekildeki çizgede kişiler köşelerle, arkadaşlık durumu ise kenarlar ile temsil ediliyor. Çizgeye baktığımızda her köşenin derecesi bize o kişinin kaç tane arkadaşı olduğunu gösteriyor.

Çizge Kuramı Nasıl Ortaya Çıktı?

Çizge kuramı, oldukça fazla uygulama alanı olmasının yanı sıra ortaya çıkış hikâyesi ile de ilgi çekiyor. Başrolde matematiğe katkıları saymakla bitmeyen Leonhard Euler var. Bu muhteşem bilim insanının “Königsberg’in yedi köprüsü” olarak adlandırılan bir problemin çözümü için geliştirdiği yöntem, çizge kuramının temellerini attı. Euler’in zamanında, Prusya’nın Königsberg (günümüzde Rusya sınırları içinde yer alan Kaliningrad) kentinde şekildeki haritada göründüğü gibi bir nehrin iki kolu arasında kalan iki ada ve adaları birbirine ve diğer kara parçalarına bağlayan 7 tane köprü vardı. Problem şuydu: Şehrin yedi köprüsünün her birinden yalnızca bir kez geçerek bir yürüyüş yapmak mümkün mü?

Yazar: