Cevap: N = 110

Ali Baba’nın en az 110 gerçek altın sikkeyi belirleme stratejisini açıklayalım. Ali Baba, satranç tahtasının ana köşegenin üzerindeki 12 kareyi, her biri 4 ardışık birim kare içeren üç eşit gruba ayırıyor. İlk denemede tartının kefelerinden birine aynı gruptaki 4 sikkeyi, diğerine de herhangi bir diğer gruptaki 4 sikkeyi yerleştiriyor. Kurallara göre satranç tahtasının ana köşegenin üzerindeki karelerde bulunan 12 sikkeden tam olarak bir tanesi sahtedir. Buna göre ilk tartı sonucunda sahte sikkeyi içeren 4 sikkelik grup kesin olarak belirlenecektir.

Genelliği bozmadan bu, birinci grup olsun. Buna göre sahte sikkeler ya ilk 4 satırın herhangi birinde ya da ilk 4 sütunun herhangi birindedir. İkinci denemede ilk satırdaki soldan birinci ve ikinci sikkeleri birinci kefeye, ikinci satırdaki soldan üçüncü ve dördüncü sikkeleri ise ikinci kefeye yerleştirelim. Bu tartının sonucunda birinci kefe daha hafifse sahte sikkeler ya birinci satırda ya da birinci ve ikinci sütunlardan herhangi birindedir. Benzer şekilde ikinci kefe daha hafifse sahte sikkeler ya ikinci satırda ya da üçüncü ve dördüncü sütunlardan herhangi birindedir. Bu iki kefenin kütleleri eşitse sahte sikkeler ya üçüncü ya da dördüncü satırlardan herhangi birindedir. Kefelerin kütlelerinin eşit olmadığı durumda 110, eşit olduğu durumda ise 120 gerçek altın sikke bulunuyor.

Şimdi de N sayısının neden daha fazla olamayacağını gösterelim. Sahte sikkelerin bulunabileceği 24 satır/sütun var. Tartıyı iki kez kullanarak 3×3= 9 farklı sonuç elde edilebilir. Bu 9 sonuca dayanarak sahte sikkelerin bulundukları satır/sütunlar belirlenecektir. Demek oluyor ki öyle bir sonuç var ki bu sonuca göre sahte sikke bulundurabilecek 24/9>2 yani en az 3 satır/sütun belirlenir.

Belirlenmiş 3 satır/sütunda hem satır hem de sütun bulunuyorsa 144-2×12-10= 110, sadece satır veya sütun bulunuyorsa 144-3×12= 108 gerçek altın sikkenin bulunması garantilenebilir. Çözümdeki strateji, altın sikke içeren 3 adet satır/sütunun sadece satırlardan veya sütunlardan oluşmasını engelliyor ve buna göre garantilenebilecek gerçek altın sayısı en fazla 110 olur.