Ali Baba’nın Yüzüklerin Kütlelerini Kanıtlaması
Ali Baba, haramiler tarafından mağarada alıkonulmuştur. Haramiler, Ali Baba’nın iyi bir mücevher ustası olduğunu öğrenir ve Ali Baba’ya onun mağaradan salıverilmesi için birbirinden farklı görüntüye sahip on beş tane altın yüzük hazırlaması gerektiğini söyler. Bu on beş altın yüzüğün biri tam olarak 1, biri tam olarak 2, biri tam olarak 3, . . . ve sonuncusu tam olarak 15 gram olmak zorundadır.
Ali Baba ondan istenilen 15 altın yüzüğü hazırlar ve haramiler Ali Baba’ya yaptığı işe karşılık olarak 40 tane gümüş sikke verir. Haramiler yüzükleri çok beğenir fakat Ali Baba’yı salıvermeden önce ondan yüzüklerin kütlelerinin istenilen koşulları sağladığını kanıtlamasını ister. Bunun için haramiler Ali Baba’ya bir tane iki kefeli tartı verir. Yüzüklerin kütlelerinin doğru olduğunu kanıtlaması için Ali Baba her işlemde tartının bir kefesine istediği bir yüzüğü diğer kefesine ise bir veya birkaç tartı taşı yerleştirmelidir. Bir işlemde sadece bir yüzük kullanılabilir ve kullanılan yüzüğün bulunduğu kefeye bu yüzük dışında herhangi bir tartı taşı yerleştirilemez. Ali Baba yüzükleri kendisi hazırladığı için hangi yüzüğün kaç gram olduğunu biliyor. Haramiler Ali Baba’ya kütlesi 1, 2, 4, ve 8 gram olan dört tartı taşı bulunduğunu söyler. Ali Baba her işlemden önce haramilerden bu dört tartı taşının bir veya birkaçını alabilir.
Kurallara göre Ali Baba, her tartı taşını almak için haramilere 1 gümüş sikke vermek zorundadır. Ali Baba herhangi bir işlemde kullandığı tartı taşını bir sonraki işlemde kullanmazsa haramiler, kullanılmayan o tartı taşını ondan geri alır. Bundan sonra aynı tartı taşını haramilerden tekrar almak için Ali Baba yeniden onlara 1 gümüş sikke vermek zorundadır. Ancak Ali Baba bir işlemde kullandığı bir tartı taşını haramilere geri vermeden bundan hemen sonraki işlemde de kullanırsa gümüş sikke harcamadan aynı taşı yeniden kullanmış olur. Örnek olarak Ali Baba, ilk işlemde haramilere 2 gümüş sikke vererek onlardan kütlesi 2 ve 4 gram olan iki tartı taşı alıp kütlesi 6 gram olan bir yüzüğün 6 gram olduğunu onlara ispatlayabilir. Bundan sonra Ali Baba haramilere 1 gümüş sikke vererek 8 gramlık bir tartı taşı alıp kütlesi 8 ve 4 gram olan iki tartı taşını kullanarak 12 gram olan bir yüzüğün 12 gram olduğunu kanıtlayabilir. Fakat bu işlemden hemen sonra haramiler son işlemde kullanılmayan 2 gramlık tartı taşını Ali Baba’dan geri alır. Ali Baba bundan sonra kütlesi 2 gram olan bu tartı taşını yeniden kullanmak isterse haramilere yeniden 1 gümüş sikke vermek zorunda kalır.
Ali Baba 15 yüzüğün kütlelerinin ondan istenildiği gibi 1, 2, …,15 gram olduğunu ispatlamak için haramilere mümkün olduğunca az gümüş sikke vermek istiyor. Buna göre Ali Baba, tüm tartı işlemleri bittikten ve salıverildikten sonra mağaradan en fazla kaç gümüş sikke ile ayrılabilir?
Ali Baba’nın bunu nasıl yapabileceğini gösteriniz ve Ali Baba’nın mağaradan ayrılırken bulunduracağı gümüş sikke sayısının neden daha fazla olamayacağını kanıtlayınız.
