İlk önce N = 30 sayısının yeterli olduğunu gösterelim. Keloğlan ilk işlemde üçüncü kutuyu seçip bu kutuda 3 fındık olduğunu söylüyor. Bu tahmin doğruysa Keloğlan ikinci işlemde birinci kutuda 1 fındık olduğu tahmininde bulunuyor ve ilk iki işlem sonucunda ilk üç kutudaki fındık sayıları belirlenmiş oluyor. Üçüncü kutuda 3 fındık bulunmuyorsa Keloğlan ikinci kutuda 3 fındık olduğu tahmininde bulunuyor. Bu tahmin doğruysa birinci kutuda 1, ikinci kutuda 3, üçüncü kutuda 2 fındık bulunuyor ve yine ilk iki işlem sonucunda ilk üç kutudaki fındık sayıları belirlenmiş oluyor. İkinci kutuda 3 fındık bulunmuyorsa dördüncü kutuda 3 fındık, üçüncü kutuda 4 fındık ve ilk iki kutunun birinde 1, diğerinde 2 fındık bulunmak zorundadır. Keloğlan birinci kutudaki fındık sayısını da bir işlemde belirleyip üç işlem sonucunda ilk dört kutudaki fındık sayılarını belirlemiş oluyor. Keloğlan benzer şekilde soldan sağa doğru devam ederse en fazla kutu sayısının ¾’ü kadar işlem sonucunda ödevi tamamlayabiliyor.

Şimdi de 30 sayısından daha az işlem yaparak ödevin tamamlanmasının garanti edilemeyeceğini gösterelim. Kutuları soldan sağa doğru dörtlü gruplara ayıralım.

Cücelerin Keloğlan’a ek bilgi verdiğini ve bu bilgiye göre ilk dört kutudaki fındık sayıları kümesinin {1, 2, 3, 4}, ikinci dört kutudaki fındık sayıları kümesinin {5, 6, 7, 8}, …, son dört kutudaki fındık sayıları kümesinin {37, 38, 39, 40} olduğunu varsayalım. Bu durumda 30 işlemin yeterli olmadığını gösterelim. N<30 ise bu dörtlülerin en az biri için en fazla 2 işlem yapılacaktır. Genelliği bozmadan iki işlem yapılacak dörtlü {1, 2, 3, 4} olsun. İlk dört kutudaki fındık sayıları {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 4, 3}, {2, 1, 3, 4}, {2, 1, 4, 3} veya {1, 3, 2, 4} şeklinde sıralanabilir. Fakat iki işlem sonucunda Keloğlan cücelerden sadece 4 farklı yanıt alabilir. Demek ki iki işlem yetersiz kalacaktır.