Mart 2025 Matematik Sorusunun Çözümü ve Hediye Kazananlar

Bilim ve Teknik dergisi Ayın Sorusu köşesinde Mart 2025 yayımlanan Mağaranın Gizemli Kilidindeki Sırrın Ali Baba Tarafından Çözülmesi sorusunun çözümü açıklandı ve kitap hediyesi kazanan okurlarımız belli oldu.

Prof. Dr. Azer Kerimov

vlastas/iStock

Mağaranın Gizemli Kilidindeki Sırrın Ali Baba Tarafından Çözülmesi

Ali Baba’nın haramiler tarafından alıkonulduğu mağaradan kurtulabilmesi için mağaranın kapısının gizemli kilidini gece haramiler uyurken açması gerekiyor.

Ali Baba ana kilidin tüm özelliklerini öğrenmekle işe başlıyor. Mağaranın kapısının kilidi 5×5 boyutlarında bir satranç tahtası şeklindedir. Bu satranç tahtasının 25 birim karesinden tam olarak bir tanesi özel birim karedir. Tüm birim kareler aynı görünümde olduğu için hangi birim karenin özel olduğu fark edilemiyor. Bir denemede sadece özel birim kareye dokunulduğu zaman kilit sessizce açılıyor ve Ali Baba mağaradan kurtulabiliyor. Bir denemede sadece özel olmayan bir birim kareye dokunulduğu anda alarm çalıyor ve Ali Baba’nın mağaradan kurtulma şansı ortadan kalkıyor.

Ali Baba gizemli kilidin sırrını çözmek için kilidin şu özelliklerini kullanacaktır: Satranç tahtasının aynı satırda veya aynı sütunda bulunan 4 ardışık birim karesine aynı anda dokunulduğu zaman özel birim kare bu dört birim kareden biriyse kapıdan bir tıkırtı sesi geliyor, özel birim kare bu dört birim kareden biri değilse herhangi bir tıkırtı sesi gelmiyor, her iki durumda da kilidin alarmı çalışmıyor. Herhangi bir denemedeki tüm diğer dokunuşlarda (aynı anda 1 ve 4’den farklı sayıda birim kareye dokunulduğu veya ardışık olmayan 4 birim kareye dokunulduğu zaman) yine alarm çalıyor ve Ali Baba’nın herhangi bir zamanda mağaradan kurtulma şansı kalmıyor. Kilidin özelliklerine göre, Ali Baba her gece sadece bir deneme yapabilir.

Buna göre, Ali Baba N deneme sonucunda mağaradan kurtulmayı garantileyebilirse, N sayısının alabileceği en küçük sayı kaçtır? Bir diğer deyişle N sayısının hangi en küçük değerinde Ali Baba şansı yaver gitmese bile en fazla N deneme sonucunda mağaradan kurtulabilir? Bulduğunuz N sayısı için Ali Baba’nın deneme stratejisini açıklayın ve N sayısının neden daha az olamayacağını kanıtlayın.

Cevabı Gör

Cevap: 9

Çözüm:

İlk önce N = 9 için Ali Baba’nın kilidi açma stratejisini açıklayalım. Ali Baba stratejisinin en fazla 5 denemeden oluşan ilk kısmının denemelerinde sırasıyla birinci satırın ilk dört, ikinci satırın son dört, üçüncü satırın ilk dört, dördüncü satırın son dört, beşinci satırın ilk dört birim karesine aynı anda dokunacaktır. Bu denemelerin herhangi birinde kilitten tıkırtı gelirse Ali Baba özel birim karenin hangi dörtlüde olduğunu bulmuş olur. Ali Baba bundan sonra özel birim kareyi içeren dörtlünün bir birim karesini kaplayan dikey dörtlüleri deneyerek en fazla üç deneme sonucunda özel birim karenin yerini net olarak belirleyecektir. Sonuç olarak dokuzuncu denemede mağaranın kilidini açarak kurtulacaktır.

İlk 5 denemede kilitten tıkırtı gelmezse, Ali Baba özel birim karenin ya soldan birinci ya da soldan beşinci sütunda olduğu sonucuna ulaşıyor. Bu kare ya ilk sütunun yukarıdan aşağıya doğru 2. ya da 4 birim karesi ya da sonuncu sütunun yukarıdan aşağıya doğru 1., 3. ya da 5. birim karesidir. Ali Baba altıncı ve yedinci denemelerinde ilk ve son sütunların ilk dört birim karelerine dokunuyor. Bunun sonucu olarak ya özel birim karenin yeri belirleniyor ya da özel birim karenin bulunduğu yerin iki birim kareden biri olduğu anlaşılıyor. Demek ki yine Ali Baba en fazla 9 deneme sonucunda mağaranın kilidini açarak kurtulacaktır.

Şimdi de 8 ve daha az deneme sonucunda Ali Baba’nın kilidi açamayacağını kanıtlayalım. Ali Baba’nın ilk beş denemesinde herhangi bir tıkırtı gelmezse özel birim karenin bulunması için en az 25 – 5 = 5 farklı olası birim kare olduğu açıktır. Altıncı denemede kullanılan birim kareler bu 5 birim karenin bazılarını içerebilir. Bu denemenin 5 birim kare içinde ya içerdiği ya da içermediği birim kare sayısı en az 3 olacaktır. Özel birim karenin daha fazla birim kare içeren grupta olacağını varsayalım. Benzer şekilde yedinci deneme sonucunda özel birim kare için en az iki olasılık kalacaktır. Buna göre, özel birim karenin belirlenmesini garantilemek için en az 8, Ali Baba’nın kurtulması için en az 9 deneme gerekiyor.

Başıma Yıldırım Düştü! Olasılıkların İlginç Dünyası kitabı gönderilecek okurlarımız:

・ Ali BEKTAŞ

・ Ömer Yavuz ÖZTÜRK

・ Özge Elif ÖZDİKEN

・ Ahmet Zikreddin GÜZEL

・ Ferzan TAPRAMAZ

Bizden kitap hediyesi kazanan okurumuzun adresine kitabı kargo ile gönderilecektir. İlginiz için çok teşekkür ediyoruz.

Dergimize Matematik Sorusu köşesi ile ilgili içerik gönderen okurlarımız, “Kişisel Verileri Koruma Kanunu” kapsamında, paylaştıkları verilerin ve bilgilerin dergimiz tarafından yayınlanmasına açık rıza göstermiş sayılacaktır.