Cücelerin ve Keloğlan’ın Fındıkları Sepetlere Dağıtması
Keloğlan 300 cücenin yaşadığı bir çiftliği ziyaret eder. Cüceler onunla çiftliğin avlusunda bir oyun oynamak ister. Avluda 1.919 tane fındık içeren bir torba ve 20 tane birbirinden farklı renkte boş sepet vardır. Oyun önceden verilmiş bir M pozitif tam sayısına göre oynanır.
Oyun iki kısımdan oluşur. Kurallara göre oyunun birinci kısmında cüceler bir sıraya dizilir ve sırası gelen her cüce önce torbadaki 1.919 fındığın tamamını istediği şekilde avludaki 20 sepete dağıtır. Her cüce isterse sepetlerden bir veya birkaçını boş bırakabilir ve yine isterse fındıkların tamamını tek bir sepete yerleştirebilir. Her yerleştirmeden sonra Keloğlan bu cücenin hangi sepete kaç fındık yerleştirdiğini not eder. Bundan sonra da bu cüce sepetteki fındıkların tamamını torbaya geri koyar. 300 cüceden her biri kendi yerleştirme işlemini yaptıktan sonra oyunun ilk kısmı tamamlanır. Bu aşamanın sonucunda Keloğlan’ın notlarında her sepet için bu sepete yerleştirilen fındık sayılarını gösteren 300 sayı bulunacaktır.
Oyunun ikinci kısmında Keloğlan da torbadaki fındıkların tamamını sepetlere yerleştirmelidir. Fındıkları yerleştirilirken 20 sepetten her biri için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir. Her sepet ve her 0 ≤ n ≤ 1.919 sayısı için oyunun ilk kısmında bu sepete kendi sırasında en az n tane fındık yerleştiren toplam cüce sayısı en az M ise Keloğlan da aynı sepete en az n tane fındık yerleştirmek zorundadır. Örnek olarak M=210 sayısı için oynanan oyunda sarı bir sepete cücelerden 174 tanesi 70’er, 36 tanesi 30’ar, 35 tanesi 20’şer, 45 tanesi 10’ar ve 10 tanesi 3’er fındık yerleştirdiyse bu sepete en az 3 fındık yerleştiren cüce sayısı 10+45+35+36+174=300≥210, en az 10 fındık yerleştiren cüce sayısı 45+35+36+174=290≥210, en az 20 fındık yerleştiren cüce sayısı 35+36+174=245≥210, en az 30 fındık yerleştiren cüce sayısı 36+174=210≥210 ve en az 70 fındık yerleştiren cüce sayısı 174≤210’dur. Buna göre Keloğlan da bu sarı sepete en az 30 fındık yerleştirmek zorundadır. Yine örnek olarak M=220 sayısı için oynanan oyunda kırmızı bir sepete cücelerden 169 tanesi 70’er, 41 tanesi 50’şer, 13 tanesi 45’er, 62 tanesi 40’ar, 5 tanesi 12’şer ve 10 tanesi 2’şer fındık yerleştirdiyse bu sepete en az 45 tane fındık yerleştiren cüce sayısı 169+41+13=223≥220 ve 169+41=210≤220 olduğuna göre Keloğlan da bu kırmızı sepete en az 45 fındık yerleştirmek zorundadır.
Verilmiş bir M pozitif tam sayısı için Keloğlan, 300 cücenin fındık dağıtımından sonra 1.919 fındığı oyunun kuralarına uygun şekilde sandıklara yerleştirebilirse oyunu kazanıyor.
Keloğlan 300 cücenin fındık dağıtımından sonra 1.919 fındığı sepetlere oyunun kurallarına uygun şekilde yerleştiremezse oyunu kaybediyor.
M pozitif tam sayısı oyun başlamadan önce herkese açıklanıyor. Cüceler, Keloğlan’ın oyunu kaybetmesini istiyor ve buna göre de oyun başlamadan önce kendi aralarında anlaşarak verilmiş M sayısına göre her cücenin fındıkları sepetlere nasıl dağıtması gerektiğini belirlemek için ortak bir strateji geliştiriyor. Keloğlan, 300 cücenin geliştirebileceği herhangi bir ortak stratejiye rağmen M pozitif tam sayısının en küçük hangi değerinde her zaman oyunu kazanmayı garantileyebilir?
Bulduğunuz bu en küçük M sayısı için Keloğlan’ın oyunu nasıl kazanması gerektiğini açıklayınız ve bu M sayısının neden daha küçük olamayacağını kanıtlayınız.
