Ali Baba’nın Altın ve Gümüş Sikkeleri Kullanarak Kilidi Açması

li Baba uzun süredir kaldığı mağaradan çıkmayı planlar. Mağaranın tek kapısının gizemli bir kilidi vardır. Kilit 8×8 boyutlarında 64 birim kareden oluşan bir satranç tahtası şeklindedir. Ali Baba uzun çabalar sonucunda kilidin açılma kurallarını öğrenir. Kilidin açılması için bu satranç tahtasının 64 adet birim karesinin her birinin merkezine ya bir altın ya da bir gümüş sikkenin yerleştirilmesi gerekmektedir. Bu yerleştirme 64 farklı işlem dizisi şeklinde yapılmaktadır.

Satranç tahtasının en alttaki satırıyla en soldaki sütununun kesişiminde bulunan birim karesini A, en alttaki satırıyla en sağdaki sütununun kesişiminde bulunan birim karesini B, en üstteki satırıyla en sağdaki sütununun kesişiminde bulunan birim karesini C ve son olarak en üstteki satırıyla en soldaki sütununun kesişiminde bulunan birim karesini D olarak işaretleyelim. A ve C birim karelerinin merkez noktalarını birleştiren doğru I1, B ve D birim karelerinin merkez noktalarını birleştiren doğru ise I2 olsun. Her adımda üzerinde herhangi bir sikke bulunmayan bir birim kare seçiliyor. Bundan sonra seçilmiş birim karenin katsayısı hesaplanıyor. Seçilmiş birim karenin merkez noktası O olmak üzere, O noktasında başlayan dört ışın çiziliyor. Bu ışınların birincisi, O noktasından başlayıp üst sağ yöne doğru çiziliyor ve dolayısıyla I1 doğrusuna paraleldir. Bu ışınların ikincisi, O noktasından başlayıp üst sol yönüne doğru çiziliyor ve dolayısıyla I2 doğrusuna paraleldir. Bu ışınların üçüncüsü, O noktasından başlayıp alt sol yönüne doğru çiziliyor ve dolayısıyla I1 doğrusuna paraleldir. Son olarak bu ışınların dördüncüsü, O noktasından başlayıp alt sağ yönüne doğru çiziliyor ve dolayısıyla I2 doğrusuna paraleldir.

Seçilmiş birim karenin katsayısı, bu birim karede başlayan dört ışın arasında üzerinde en az bir sikke bulunan ışınların sayısıdır. Buna göre seçilmiş her birim karenin katsayısı 0, 1, 2, 3 ve 4 sayılarından birine eşit olacaktır. Örnek olarak A birim karesi seçildiğinde onun katsayısı ya 0 ya da 1 olabiliyor. En sol sütün üzerinde bulunup A ve D birim karelerinin her ikisinden farklı olan herhangi bir birim kare seçildiğinde onun katsayısı ya 0, ya 1 ya da 2 olabiliyor. En sol ve en sağ sütunda ve en alt ve en üst satırda bulunmayan herhangi bir birim kare seçildiğinde onun katsayısı 0, 1, 2, 3 ve 4 olabiliyor.

Kilidin açılması için her işlemde, üzerinde herhangi bir sikke bulunmayan bir birim kare seçiliyor ve seçilmiş bu birim karenin katsayısı hesaplanıyor. Bu katsayı çift sayı ise seçilmiş birim kareye altın sikke ve bu katsayı tek sayı ise seçilmiş birim kareye gümüş sikke yerleştiriliyor. Kilidin açılması için herhangi bir birim kareye yerleştirilmiş bir sikke, sonraki herhangi bir işlemde başka bir birim kareye kaydırılamıyor.

Ali Baba N tane altın sikke ve 64-N tane gümüş sikke kullanarak gizemli kilidi açıp mağaradan çıktıysa bu N sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? Ali Baba’nın bulduğunuz N sayısı kadar altın sikke ve 64-N sayısı kadar gümüş sikke kullanarak yaptığı işlem dizisi için bir örnek verin ve N sayısının neden daha küçük bir sayı olamayacağını kanıtlayın.