Keloğlan’ın Çiftlikteki Cücelere Kırmızı ve Beyaz Külah Dağıtması
Keloğlan 123 tane çok zeki cücenin yaşadığı bir çiftliği ziyaret eder ve cücelerin gerçekten keskin zekâlı olduklarından emin olmak ister. Bu amaçla Keloğlan çiftlikteki cücelerin tamamını çiftlik avlusuna davet edip onlarla bir oyun oynamak istediğini söyler. İlk önce Keloğlan cücelere oyunun kurallarını açıklar. Kurallara göre Keloğlan sırayla her cüceye ya kırmızı ya da beyaz külah hediye edecektir. Oyun iki kısımdan oluşuyor. Oyunun ilk kısmında Keloğlan önce cücelerden bir sıra oluşturacak ve sıradaki ilk cüceye “Oyunun ilk kısmında 123 külah dağıtıldıktan sonra kırmızı külah alan cüce sayısı kaç olacaktır?” sorusunu soracaktır. Sıradaki ilk cüce, kırmızı külah alacak cüce sayısı tahminini söyledikten sonra Keloğlan bir karar alarak bu cüceye kırmızı ya da beyaz külah hediye edecektir. Bundan sonra Keloğlan benzer şekilde sıradaki ikinci, üçüncü, … ve son olarak sonuncu cüceye önce “Oyunun ilk kısmında 123 külah dağıtıldıktan sonra kırmızı külah alan cüce sayısı kaç olacaktır?” sorusunu soracak ve bu cücenin yaptığı tahmini duyduktan sonra bir karar alarak bu cüceye ya kırmızı ya da beyaz külah hediye edecektir.
Tüm süreç boyunca her cüce hem diğer cücelerin söylediği sayıları duyacak hem de Keloğlan’ın tahminde bulunan cücelere verdiği külahların renklerini görecektir. Oyun başlamadan önce Keloğlan’ın 123 tane kırmızı ve 123 tane beyaz külahı bulunuyor ve dolayısıyla Keloğlan cücelere istediği sayıda kırmızı ve istediği sayıda beyaz külah dağıtabilir. Külahlar dağıtıldıktan ve dolayısıyla 123 cüceden her biri ya kırmızı ya da beyaz külah aldıktan sonra oyunun ikinci kısmı başlıyor.
Oyunun ikinci kısmında Keloğlan, birinci kısımda kırmızı külah alan toplam cüce sayısını doğru tahmin eden tüm cüceleri belirliyor. Doğru tahminde bulunan bu cücelerin en az biri oyunun birinci kısımda beyaz külah almışsa Keloğlan ilk kısımda beyaz külah alan her cücenin beyaz külahını kırmızı külahla değiştiriyor. İlk kısımda Keloğlan’dan hediye olarak kırmızı külah alan cücelerin külahları herhangi bir durumda değişmiyor. İkinci kısımdan sonra oyun tamamlanıyor.
Cücelerin oyundaki amacı oyunun bitiminde Keloğlan’dan aldıkları 123 külahtan kırmızı olanların sayısının mümkün oldukça büyük olmasıdır. Keloğlan’ın amacı ise oyunun bitiminde cücelere hediye ettiği 123 külahtan kırmızı olanların sayısının mümkün oldukça küçük olmasıdır. Oyun, Keloğlan’ın kuralları cücelere açıklamasının hemen ardından başlayacaktır ve dolayısıyla cücelerin oyun başlamadan önce kendi aralarında bir ortak strateji geliştirme imkânı bulunmamaktadır.
Çiftlikteki cüceler Keloğlan’ın külah dağıtma stratejisinden bağımsız olarak her zaman oyunun sonunda toplamda en az N tane kırmızı külah almayı garantileyebiliyorsa, N sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır? Cücelerin bu sayıda kırmızı külahı nasıl elde edebileceklerini açıklayınız ve N sayısının neden daha büyük olamayacağını kanıtlayınız.
