Cevap: N=272 Çözüm: Sandıkları A ve B gruplarına ayıralım. A grubunda 1 ≤ m ≤ 16 numaralı, B grubunda ise 17 ≤ n ≤ 33 numaralı tüm sandıklar bulunsun. m1 ve m2 numaralı sandıklar A grubundan, n1 ve n2 numaralı sandıklar ise B grubundan olmak üzere, (m1, n1) ve (m2, n2) ikililerini inceleyelim. Koşullara göre, ödev tamamlandığında birbirinden farklı öyle X ve Y değerli taşları vardır ki X değerli taşı hem m1 hem de n1 numaralı kutularda bulunup m1 < i < n1 numaralı kutularda bulunmuyor ve Y değerli taşı da hem m2 hem de n2 numaralı kutularda bulunup m2 < i < n2 numaralı kutularda bulunmuyor. Sonuç olarak, ödevin tamamlanması için en az 16 x 17 = 272 işlem gerekmektedir. Şimdi de Ali Baba’nın 272 işlem sonucunda ödevini tamamlayabileceğini gösterelim. Bunun için Ali Baba m numaralı sandık A grubundan ve n numaralı sandık da B grubundan olmak üzere m ve n numaralı sandıklara ve k bir tam sayı olmak üzere, m + k (n-m) numaralı tüm sandıklara aynı işlemde birer değerli taş koyarsa ödevin koşulları sağlanmış olur.

Matematik

1 Kasım 2024

Ekim 2024 Matematik Sorusunun Çözümü ve Hediye Kazananlar

Bilim ve Teknik dergisi Ayın Sorusu köşesinde Ekim 2024 yayımlanan Değerli Taşların Sandıklara Dağıtılması sorusunun çözümü açıklandı ve doğru çözenler belli oldu.

Prof. Dr. Azer Kerimov

vlastas/iStock

Değerli Taşların Sandıklara Dağıtılması

Ali Baba 40 harami tarafından mağarada alıkonulmuştur. Haramiler Ali Baba’nın mağaradan salıverilmesi için ona yapması gereken zor bir ödev tasarlarlar. İlk önce haramiler Ali Baba’ya 33 tane boş sandık verir. Bu 33 sandığın her birinin üzerinde 1, 2, . . ., 33 sayılarının biri yazılmıştır ve her 1 ≤ i ≤ 33 tam sayısı bu sandıklardan tam olarak bir tanesinin üzerinde bulunur.

Ödevin kurallarına göre, her işlemde Ali Baba haramilere 33 sayısından büyük olmayan istediği bir pozitif tam sayı söyler ve haramiler de ona söylenen tam sayı miktarında değerli taş verir. Her işlemde Ali Baba’ya verilen değerli taşların hepsi aynı türe aittir ve farklı işlemlerde Ali Baba’ya verilen değerli taşların hepsi farklı türe aittir (örneğin üçüncü işlemde verilen tüm taşlar elmas ve onuncu işlemde verilen tüm taşlar zümrüt olabilir). Ali Baba her işlemin sonunda ona verilen taşları birbirinden farklı olan istediği sandıklara yerleştirir. Ali Baba’ya verilen ödevin hedefi 1 ≤ m < n ≤ 33 olmak üzere, her (m, n) tam sayı ikilisi için aşağıdaki iki koşuldan her birinin sağlanmasıdır:

Her (m, n) ikilisi için öyle bir X değerli taş türü vardır ki:

• m ve n numaralı sandıkların her birinde birer X değerli taş bulunur.

• m sayısından büyük ve n sayısından küçük her i tam sayısı için, i numaralı hiçbir sandıkta X değerli taş bulunmaz.

Haramilerin hazinesinde yeterli sayıda farklı değerli taş türü bulunuyor ve bu türlerin her birine ait en az 33 taş var.

Koşullara göre, Ali Baba aynı sayıyı birden fazla kez söyleyebilir. Birbirinden farklı (m, n) tam sayı ikilileri için ödevin koşullarını sağlayan değerli taş türleri aynı olabiliyor. Örneğin (3, 7), (11, 12) ve (24, 26) tam sayı ikilileri için yakut taşı 3, 7, 11, 12, 24 ve 26 numaralı sandıklarda bulunup 4, 5, 6 ve 25 numaralı sandıklarda bulunmazsa bu üç tam sayı ikilisi için gereken tüm koşullar sağlanmış olur. Doğal olarak, bir (m, n) tam sayı ikilisi için koşulları sağlayan değerli taş türlerinin sayısı birden fazla olabilir. Örneğin (14, 17) tam sayı ikilisi için 14 ve 17 numaralı sandıkların her birinde hem topaz hem de lal taşı bulunup 15 ve 16 numaralı sandıkların hiçbirinde topaz ve lal taşı bulunmazsa koşullar sağlanmış olur.

Ali Baba mağaradan bir an önce kurtulmak için mümkün olacak kadar az işlem sonucunda ödevini tamamlamak istiyor. Ali Baba’nın N işlem sonucunda ödevini yaparak mağaradan salıverilmesini sağlayan bir strateji varsa bu N sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bulduğunuz N sayısı için bir strateji örneği verin ve N sayısının neden daha küçük olamayacağını açıklayın.

Cevabı Gör

Cevap: N=272

Çözüm:

Sandıkları A ve B gruplarına ayıralım. A grubunda 1 ≤ m ≤ 16 numaralı, B grubunda ise 17 ≤ n ≤ 33 numaralı tüm sandıklar bulunsun. m₁ ve m₂ numaralı sandıklar A grubundan, n₁ ve n₂ numaralı sandıklar ise B grubundan olmak üzere, (m₁, n1) ve (m₂, n₂) ikililerini inceleyelim.

Koşullara göre, ödev tamamlandığında birbirinden farklı öyle X ve Y değerli taşları vardır ki X değerli taşı hem m1 hem de n₁ numaralı kutularda bulunup m₁ < i < n₁ numaralı kutularda bulunmuyor ve Y değerli taşı da hem m₂ hem de n₂ numaralı kutularda bulunup m₂ < i < n₂ numaralı kutularda bulunmuyor.

Sonuç olarak, ödevin tamamlanması için en az 16 x 17 = 272 işlem gerekmektedir.

Şimdi de Ali Baba’nın 272 işlem sonucunda ödevini tamamlayabileceğini gösterelim. Bunun için Ali Baba m numaralı sandık A grubundan ve n numaralı sandık da B grubundan olmak üzere m ve n numaralı sandıklara ve k bir tam sayı olmak üzere, m + k (n-m) numaralı tüm sandıklara aynı işlemde birer değerli taş koyarsa ödevin koşulları sağlanmış olur.

Matematiğin Aydınlık Dünyası kitabı gönderilecek okurlarımız:

• Recep Talha HERUZ
• Erdem ULUSOY
• Mustafa SEÇİLMİŞ

Bilim ve Teknik dergisi Ayın Sorusu köşesinde Ekim 2024 sayısında yayımlanan ödüllü Değerli Taşların Sandıklara Dağıtılması sorusuna doğru çözüm gönderenler arasında yapılan çekiliş sonucunda bizden kitap hediyesi kazanan okurlarımızın adreslerine kitapları kargo ile gönderilecektir. İlginiz için çok teşekkür ediyoruz.

Dergimize Matematik Sorusu köşesi ile ilgili içerik gönderen okurlarımız, “Kişisel Verileri Koruma Kanunu” kapsamında, paylaştıkları verilerin ve bilgilerin dergimiz tarafından yayınlanmasına açık rıza göstermiş sayılacaktır.