Keloğlanın Cüce İkililerine Bilye Dağıtması

Keloğlan altı cücenin yaşadığı bir çiftliği ziyaret eder. Keloğlan çiftlikte bulunduğu her gün bu altı cüceden tam olarak iki cüce seçer ve seçtiği cücelere birer kırmızı ya da birer beyaz bilye verir. Keloğlan ziyaretinin birinci günü cücelere verdiği iki bilyeden her birini 1 sayısıyla, ikinci gün cücelere verdiği iki bilyeden her birini 2 sayısıyla, . . ., k. gün cücelere verdiği iki bilyeden her birini k sayısıyla işaretler. Keloğlan aynı cüce ikilisini en fazla bir kez seçebiliyor.

Üç cüceden oluşan bir cüce grubundaki herhangi iki cücede aynı sayıyla işaretlenmiş birer kırmızı bilye varsa bu cüce grubuna kırmızı takım diyelim. Örnek olarak A cücesinde 1 ve 3 sayılarıyla işaretlenmiş birer kırmızı, B cücesinde 3 ve 6 sayılarıyla işaretlenmiş birer kırmızı ve C cücesinde 1 ve 6 sayılarıyla işaretlenmiş birer kırmızı bilye varsa, A, B ve C cücelerinden oluşan grup bir kırmızı takım oluşturuyor.

Benzer şekilde üç cüceden oluşan bir cüce grubundaki herhangi iki cücede aynı sayıyla işaretlenmiş birer beyaz bilye varsa bu cüce grubuna beyaz takım diyelim. Örnek olarak A cücesinde 2 ve 4 sayılarıyla işaretlenmiş birer beyaz, B cücesinde 4 ve 5 sayılarıyla işaretlenmiş birer beyaz ve C cücesinde 2 ve 5 sayılarıyla işaretlenmiş birer beyaz bilye varsa, A, B ve C cücelerinden oluşan grup bir beyaz takım oluşturuyor.

Keloğlanın amacı çiftlikte bulunduğu ve cücelere bilye dağıttığı süre boyunca cücelerden oluşan herhangi bir kırmızı takımın ve herhangi bir beyaz takımın oluşmamasıdır.

Keloğlan çiftlikte bulunduğu her gün ikişer cüceye bilye vererek ve herhangi bir kırmızı ve herhangi bir beyaz takım oluşturmamak koşuluyla çiftlikteki ziyaretini en fazla kaç gün sürdürebilir?

Bulduğunuz mümkün olan en fazla gün sayısı için bir örnek verin ve bu sayının neden daha fazla olamayacağını kanıtlayın.