Keloğlanın Çiftlikteki Cücelerle Birlikte Yaptığı Orman Yürüyüşleri

Keloğlan, N cücenin yaşadığı bir çiftliği ziyaret eder ve bu çiftlikte tam olarak bir yıl boyunca kalır. Keloğlan, çiftlikte geçirdiği 365 günün her birinde bir grup cüceyle orman yürüyüşü düzenler. Yani her gün tam olarak bir orman yürüyüşü düzenlenir.

Bu orman yürüyüşlerinin her birine Keloğlan dışında en az bir ve en fazla N cüce katılır. Bir veya birkaç cüceden oluşan aynı cüce grubu, birden fazla orman yürüyüşüne katılabilir. 365 orman yürüyüşü yapıldıktan sonra Keloğlan her bir cüceye toplam kaç orman yürüyüşüne katıldığını ve bu orman yürüyüşlerine kaç farklı cüceyle birlikte katıldığını sorar.

Örnek olarak A, B, C, D, E, F, G, H farklı cüceler olmak üzere, A cücesinin katıldığı tüm orman yürüyüşleri, (A, B, C), (A), (A, B, C), (A, C, D, E, F, G, H), (A), (A, C) gruplarından oluşuyorsa, A cücesinin katıldığı toplam orman yürüyüş sayısı 6 ve A cücesinin bu orman yürüyüşlerine birlikte katıldığı farklı cüce sayısı da 7 olur.

Çiftlikteki N cücenin her biri Keloğlan’ın sorduğu iki sayıyı hesaplayıp ona söyler. Keloğlan çiftlikteki her X cücesi için bu X cücesinin katıldığı toplam orman yürüyüşü sayısının, X cücesinin orman yürüyüşlerine birlikte katıldığı farklı cüce sayısından daha fazla olmadığını fark eder.

Örnek olarak yukarıda verilen A cücesinin katıldığı orman yürüyüşleri, koşulları sağlıyor: 6 ≤ 7.

Diğer taraftan bir K cücesinin katıldığı tüm orman yürüyüşleri, (K), (K, L), (K), (K, M) olamaz, aksi takdirde 4 > 2 olduğundan sorudaki koşullar sağlanmamış olur.

Buna göre çiftlikteki toplam cüce sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz. Bulduğunuz N sayısını sağlayan bir örnek veriniz ve N sayısının neden daha küçük olamayacağını kanıtlayınız.