Keloğlan’ın Satranç Tahtası Üzerindeki Fındıkların Tamamını Toplama Yöntemi

Keloğlan 121 cücenin yaşadığı çiftliği ziyaret eder ve çiftlikteki 121 cücenin her birinden birer fındık ister. Keloğlan’ın çiftlikte mümkün olduğunca uzun süre konaklamasını isteyen cüceler, onun 121 fındığın tamamını alması için bir süreç planlarlar.

İlk önce cüceler, çiftliğin avlusuna 400 birim kareden oluşan 20×20 boyutlarında bir satranç tahtası çizer ve bundan sonra cücelerden her biri bu satranç tahtasının bir birim karesine birer fındık yerleştirir. Kurallara göre Keloğlan, çiftlikte konakladığı her gün istediği iki komşu birim kareyi seçerek bu birim karelerde bulunan fındık ya da fındıkların tamamını alabilir. Tanıma göre komşu birim kareler ortak kenar ya da ortak köşe paylaşan birim karelerdir. Yani her birim karenin ya üç ya beş ya da sekiz komşu birim karesi vardır.

Cüceler tüm fındıkları aynı birim kareye ya da iki komşu birim kareye yerleştirirse Keloğlan, çiftlikte sadece bir gün konaklayarak istediği fındıkları alabilir. Keloğlan’ın çiftlikte mümkün olduğunca uzun bir süre konaklamasını isteyen cüceler, sürecin uzun sürmesini planlayarak fındıkları satranç tahtasına yerleştirirler. Cücelerin aksine Keloğlan ise her gün birim kare ikililerinin seçimlerini 121 fındığı mümkün olabilecek en kısa sürede toplamak amacıyla yapar.

Cüceler fındıkları satranç tahtasının birim karelerine nasıl yerleştirirse yerleştirsin Keloğlan en fazla N gün sonucunda 121 fındığın tamamını almayı garantileyebiliyorsa N sayısının alabileceği en küçük sayı kaçtır? Bulduğunuz N sayısı için her durumda Keloğlan’ın fındıkların tamamını satranç tahtasından hangi yöntemle alabileceğini açıklayın ve bu N sayısının neden daha az olamayacağını kanıtlayın.